PORTAL ESTADÍSTICA APLICADA

 

MÉTODOS INTEGRACIÓN

 

 

 
  INTEGRACIÓN POR PARTES

Generalmente, éste método se aplica, cuando la función subintegral es producto de funciones de distinto tipo; como puede ser: polinómica por exponencial, trigonométrica por exponencial, etc.

La fórmula a emplear es:

haciendo la elección de  u(x)  y de v(x)  en la integral dada.

En la mayoría de los casos puede considerarse que la elección está bien hecha,

siempre que la integral

sea más sencilla o del mismo tipo

la integral dada. 

Ejercicios Resueltos Integración Partes

 

  INTEGRACIÓN de FUNCIONES RACIONALES

Tipos de integrales racionales:

 

 

 

Para la resolución de esta integral, se trata de obtener en el numerador la derivada del numerador. Para ello,

 

 

 

 

con lo cual: 

resulta: 

Por una parte,  la integral <1º> es inmediata al ser C(x) un polinomio de grado uno en x

Por otro lado, la integral <2º> se obtiene por descomposición en fracciones simples. Para lo cual, se hallan las raíces de Q(x) = 0 y se expresa Q(x) como producto de sus raíces.

Supongamos que Q(x) = 0 tiene las raíces: { x = p con multiplicidad r }, { x = q con multiplicidad s }, las raíces complejas { x = (a ± bi) con multiplicidad n }.

Entonces Q(x) puede expresarse de la forma:

Adviértase que k º coeficiente del término de mayor grado de Q(x). De otra parte, las raíces complejas conjugadas [ x - (a ± bi) ] se pueden sustituir por un polinomio de segundo grado, de la forma siguiente:

El desarrollo en fracciones simples de R(x) / Q(x) es:

Siendo Ai, Bi, Ci, Di coeficientes a determinar. Para ello, basta multiplicar ambos miembros de la igualdad por Q(x) e identificar coeficientes de términos del mismo grado. O en su defecto, dar a la variable x valores adecuados. 

Obtenido el desarrollo en fracciones simples, se integra éste, dando lugar a una suma de integrales que son de los siguientes tipos:
 

<1> Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 1, elevado a una potencia. Son integrales inmediatas.

<2> Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 2. Son integrales del tipo <a> ó <b> resueltas anteriormente.

<3> Integrales en las que el denominador es un polinomio de grado 2, elevado a una potencia ( >1 ). Estas integrales se resuelven por reducción. Este tipo de integrales, cuando el exponente es superior a 2, presentan gran dificultad, es aconsejable aplicar el método de "Hermite".

 

  MÉTODO de HERMITE

Consiste en hacer el siguiente desarrollo:

 

siendo, k º grado del denominador del corchete menos la unidad

Para calcular los coeficientes 'A, B, C, D, ai' basta derivar la expresión que está dentro del corchete, multiplicar ambos miembros por Q(x) e identificar coeficientes de términos del mismo grado.

Ejercicios Resueltos Integración Método de Hermite

 

  INTEGRACIÓN de FUNCIONES IRRACIONALES

Son aquellas en las que la variable x o funciones de la variable 'x' aparecen elevadas a exponentes fraccionarios.

INTEGRALES IRRACIONALES SIMPLES

Integrales del tipo:

 

Con el cambio se transforma en una función racional de t 

 

INTEGRALES IRRACIONALES LINEALES 

Integrales tipo:

 

La función subintegral se transforma en una función racional de t 

 

INTEGRALES IRRACIONALES BINOMIAS 

Integrales tipo:

Pueden presentarse los tres casos siguientes:

El paréntesis se desarrolla por el binomio de Newton.

 

 

 

INTEGRALES IRRACIONALES TIPO 

Existen tres cambios que la transforman en una integral racional:

 

Casos particulares de estas integrales son: 

<A>

 

En cuyo caso, se plantea la igualdad:

 

en donde

 

Para calcular estas constantes, se deriva a ambos miembros de la igualdad y una vez multiplicados por  , se identifican coeficientes de términos del mismo grado.

 

<B>

 

 

 

<C>

 

Multiplicando y dividiendo por es una integral tipo A

 

INTEGRACIÓN de FUNCIONES IRRACIONALES PARTICULARES

Existen dos tipos particulares de integrales irracionales: 

<1>

 

Según los signos de 'a', 'b', '- 4ac', se obtendrá "arc sen", "Arg Sh" , "Arg Ch"

 

<2>

 

En el primer paso de la resolución se trata de obtener en el numerador la derivada de la función subintegral. Para ello: 

 

 

 

Ejercicios Resueltos Integración Funciones Irracionales

 

  INTEGRACIÓN de FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Obsérvese que: 

 

Transformándose la función subintegral en una función racional de 't'

Casos particulares:

Función subintegral impar en senx

Se efectúa el cambio { cosx = t }

 

 

Función subintegral impar en cosx

Se efectúa el cambio { senx = t }

 

Función subintegral par en senx y cosx

 

Ejercicios Resueltos Integración Funciones Trigonométricas

 

  INTEGRACIÓN de FUNCIONES HIPERBOLICAS

    

Hacemos el cambio: 

Transformándose la función subintegral en una función racional de t. 

Casos particulares:
 

Función subintegral impar en Shx

 

 

 

 

Función subintegral impar en Chx

 

 

 

Función subintegral par en Shx y Chx

 

Los cambios expuestos son también válidos para funciones hiperbólicas no racionales. 

Ejercicios Resueltos Integración Funciones Hiperbólicas

 

  FUNCIÓN G (p). INTEGRAL EULERIANA de 2ª ESPECIE

La función G (p) se define como:

Es una integral impropia, convergente para todo p > 0. El campo de definición de la función G (p), se puede ampliar para p < 0, mediante la fórmula de Gauss:

 

 

Ejercicios Resueltos Integración Función Gamma

 

  FUNCIÓN b (p, q). INTEGRAL EULERIANA de 1ª ESPECIE

Es una integral impropia convergente " p, q > 0. La función b (p, q) se define como:

Otras formas en que se puede presentar b (p, q), son:

Haciendo el cambio   x = sen2t    la función b (p, q) se define:

Haciendo el cambio

 

   la función b (p, q) es:

Ejercicios Resueltos Integración Función Beta

 

  DERIVACIÓN de una INTEGRAL PARAMÉTRICA

Sea f(x, a ) una función de las variables independientes x y a . Se

denomina integral paramétrica, respecto al parámetro a , a la integral

Si f(x, a ) admite derivada, verificándose que:

 

 

 

Su derivada vale:

Ejercicios Resueltos Integrales Paramétricas

Caso General

Más general que el caso anterior es cuando los límites de integración son también funciones de a. Es decir: 

 Si f(x, a ) admite derivada, verificándose que:

 

 

 

 

 

 

Entonces la derivada vale:

 

Ejercicios Resueltos Integrales Paramétricas

 

 

 

 

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